设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足条件：
① 当 $x\in \mathbb R$ 时，$f(x-4)=f(2-x)$；
② 当 $x\in(0,2)$ 时，$f(x)\leqslant \dfrac{x^2+1}{2}$，且 $f(x)\geqslant x$；
③ $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的最小值为 $0$．
① 当 $x\in \mathbb R$ 时，$f(x-4)=f(2-x)$；
② 当 $x\in(0,2)$ 时，$f(x)\leqslant \dfrac{x^2+1}{2}$，且 $f(x)\geqslant x$；
③ $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的最小值为 $0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $f(x)$ 的解析式；标注答案$f(x)=\dfrac 14 x^2+\dfrac 12 x+\dfrac 14$解析条件 ① 即函数 $f(x)$ 关于 $x=-1$ 对称；条件 ③ 即函数 $f(x)$ 的顶点纵坐标为 $0$，且开口向上．因此\[f(x)=a(x+1)^2,\]又注意到条件 ② 中，令 $x=1$，可得 $f(1)=1$，因此 $a=\dfrac 14$，从而\[f(x)=\dfrac 14x^2+\dfrac 12x+\dfrac 14.\]
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是否存在实数 $m$，使函数 $g(x)=f(x)-(m-1)x\geqslant \dfrac 14$ 在区间 $[m,m+2]$ 恒成立？若存在，求 $m$ 的取值范围，若不存在，请说明理由．标注答案$[0,2]$解析根据题意，$$\forall x\in[m,m+2],\dfrac 14x^2+\left(\dfrac 32-m\right)x\geqslant 0.$$记不等式左侧函数为 $h(x)$，由$$\begin{cases}h(m)\geqslant 0,\\ h(m+2)\geqslant 0,\end{cases}$$可得$$0\leqslant m\leqslant 2.$$因为 $h(x)$ 图象对称轴为 $x=2m-3$，且$$2m-3-m=m-3<0,$$所以 $h(x)$ 在 $[m,m+2]$ 上的最小值为 $h(m)$，满足 $h(x)\geqslant 0$．所以 $m$ 的取值范围为 $[0,2]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
