已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$q\geqslant 2$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{kq^k}<\dfrac{7}{7q-4}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
后移放缩起点，有\[\begin{split} \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{kq^k}&<\dfrac 1q+\dfrac{1}{2q^2}+\dfrac{1}{3q^3}+\dfrac 14\sum_{k=4}^{n}\dfrac{1}{q^k}\\
&<\dfrac 1q+\dfrac{1}{2q^2}+\dfrac{1}{3q^3}+\dfrac 14\cdot \dfrac{1}{q^4}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac 1q}\\
&=\dfrac{12q^3-6q^2-2q-1}{12q^3(q-1)},\end{split}\]而\[\dfrac{7}{7q-4}-\dfrac{12q^3-6q^2-2q-1}{12q^3(q-1)}=\dfrac{6q^3-10q^2-q-4}{12q^3(7q^2-11q+4)}>0,\]于是原命题得证．
&<\dfrac 1q+\dfrac{1}{2q^2}+\dfrac{1}{3q^3}+\dfrac 14\cdot \dfrac{1}{q^4}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac 1q}\\
&=\dfrac{12q^3-6q^2-2q-1}{12q^3(q-1)},\end{split}\]而\[\dfrac{7}{7q-4}-\dfrac{12q^3-6q^2-2q-1}{12q^3(q-1)}=\dfrac{6q^3-10q^2-q-4}{12q^3(7q^2-11q+4)}>0,\]于是原命题得证．
答案
解析
备注
