题目 已知函数 $f(x)=\cos^2x+a\sin x$． 问题1 当 $a=2$ 时，求函数 $f(x)$ 的值域； 答案1 $[-2,2]$ 解析1 当 $a=2$ 时，有\[f(x)=-(\sin x-1)^2+2,\]于是其值域为 $[-2,2]$． 备注1 问题2 若函数 $f(x)$ 的最小值为 $-6$，求实数 $a$ 的值； 答案2 $a=\pm 6$ 解析2 根据题意有\[f(x)=-\left(\sin x-\dfrac a2\right)^2+\dfrac{a^2}4+1,\]于是 $f(x)$ 的最小值为\[\begin{cases} a,&a\leqslant 0,\\ -a,&a>0,\end{cases}\]从而 $a=\pm 6$． 备注2 问题3 若 $a\in\mathbb R$，求函数 $f(x)$ 的最大值． 答案3 $\begin{cases} -a,&a<-2,\\ \dfrac{a^2}4+1,&-2\leqslant a\leqslant 2,\\ a,&a>2.\end{cases}$ 解析3 根据题意，有\[f(x)=-\left(\sin x-\dfrac a2\right)^2+\dfrac{a^2}4+1,\]于是 $f(x)$ 的最大值为\[\begin{cases} -a,&a<-2,\\ \dfrac{a^2}4+1,&-2\leqslant a\leqslant 2,\\ a,&a>2.\end{cases}\] 备注3