题目 已知函数 $f(x)=x|2a-x|+2x$，$a\in\mathbb R$． 问题1 若 $a=0$，判断函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并加以证明； 答案1 奇 解析1 若 $a=0$，则\[f(x)=x|x|+2x.\]对函数 $f(x)$ 定义域 $\mathbb R$ 内的任意实数 $x$，均有\[f(-x)=-x\cdot |-x|+2(-x)=-\left(x|x|+2x\right)=-f(x),\]于是函数 $f(x)$ 是奇函数． 备注1 问题2 若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围； 答案2 $[-1,1]$ 解析2 函数 $f(x)$ 即\[f(x)=\begin{cases} -x^2+(2+2a)x,&x <2a,\\ x^2+(2-2a)x,&x\geqslant 2a,\end{cases}\]考虑到两个部分的对称轴分别为 $x=a+1$ 和 $x=a-1$，于是问题可以转化为\[a-1\leqslant 2a\leqslant a+1,\]解得 $a$ 的取值范围是 $[-1,1]$． 备注2 问题3 若存在实数 $a\in [-2,2]$，使得关于 $x$ 的方程 $f(x)-tf(2a)=0$ 有三个不相等的实根，求实数 $t$ 的取值范围． 答案3 $\left(1,\dfrac 98\right)$ 解析3 关于 $x$ 的方程\[f(x)-tf(2a)=0,\]即\[f(x)=4at.\]<case>情形一</case> $-1\leqslant a\leqslant 1$．此时根据第 $(2)$ 小题的结果，函数 $f(x)$ 单调递增，因此该方程不可能有三个不等实根．<br/><case>情形二</case> $1<a\leqslant 2$．考虑函数 $g(x)=\dfrac{f(x)}{4a}$，有\[\begin{array}{c|ccccc}\hline<br/>x&(-\infty,a+1)&a+1&(a+1,2a)&2a&(2a,+\infty)\\ \hline<br/>g(x)&\nearrow&\dfrac 14a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac 12&\searrow&1&\nearrow\\ \hline<br/>\end{array}\]于是 $t$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac 14a+\dfrac{1}{4a}+\dfrac 12\right)$．<br/><case>情形三</case> $-2\leqslant a<-1$．考虑函数 $g(x)=\dfrac{f(x)}{4a}$，有\[\begin{array}{c|ccccc}\hline<br/>x&(-\infty,2a)&2a&(2a,a-1)&a-1&(a-1,+\infty)\\ \hline<br/>g(x)&\searrow&1&\nearrow&-\dfrac 14a-\dfrac {1}{4a}+\dfrac 12&\searrow\\ \hline<br/>\end{array}\]于是 $t$ 的取值范围是 $\left(1,-\dfrac 14a-\dfrac {1}{4a}+\dfrac 12\right)$．<br/>综上所述，实数 $t$ 的取值范围为 $\left(1,\dfrac 98\right)$． 备注3