题目 定义在 $D$ 上的函数，如果存在常数 $M\geqslant 0$，使得对任意 $x\in D$，均有 $|f(x)|\leqslant M$ 成立，则称 $f(x)$ 是 $D$ 上的有界函数，且称 $M$ 为 $f(x)$ 的一个界．已知函数 $f(x)={\log_{\frac 12}}\dfrac{1-ax}{x-1}$，$g(x)=1+\dfrac{a}{2^x}+\dfrac{1}{4^x}$． 问题1 若函数 $f(x)$ 为奇函数，求实数 $a$ 的值； 答案1 $-1$ 解析1 函数 $f(x)$ 的定义域为\[\begin{cases}<br/>\left(\dfrac 1a,1\right),&a>1,\\<br/>\left(1,\dfrac 1a\right),&0<a<1,\\<br/>(1,+\infty),& a=0,\\<br/>\left(-\infty,\dfrac 1a\right)\cup\left(1,+\infty\right),&a<0.<br/>\end{cases}\]当且仅当 $a=-1$ 时，函数 $f(x)$ 的定义域关于原点对称，经验证，$a=-1$ 符合要求．于是若函数 $f(x)$ 为奇函数，则实数 $a$ 的值为 $-1$． 备注1 问题2 在 $(1)$ 的条件下，求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac 53,3\right]$ 上的所有界组成的集合； 答案2 $[2,+\infty)$ 解析2 由于函数\[f(x)={\log_{\frac 12}}\left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)\]是 $\left[\dfrac 53,3\right]$ 上的单调递增函数，于是函数 $f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac 53,3\right]$ 上的取值范围为 $[-2,-1]$，所以 $M\geqslant 2$，对应的所有界组成的集合为 $[2,+\infty)$． 备注2 问题3 若函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是以 $3$ 为界的有界函数，求实数 $a$ 的取值范围． 答案3 $[-5,1]$ 解析3 根据题意，有\[\forall x\geqslant 0,-3\leqslant 1+\dfrac{a}{2^x}+\dfrac{1}{4^x}\leqslant 3,\]即\[\forall x\geqslant 0,-4\cdot 2^x-\dfrac{1}{2^x}\leqslant a\leqslant 2\cdot 2^x-\dfrac{1}{2^x},\]也即\[\forall x\geqslant 1,-4x-\dfrac{1}{x}\leqslant a\leqslant 2x-\dfrac{1}{x},\]求得实数 $a$ 的取值范围是 $[-5,1]$． 备注3