题目 对于定义域为 $D$ 的函数 $y=f(x)$，若存在区间 $[a,b]\subseteq D$，满足：<br/>① $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内单调递增或单调递减；<br/>② $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域为 $[a,b]$；<br/>那么把函数 $y=f(x)(x\in D)$ 叫做闭函数． 问题1 求闭函数 $y=-x^{3}$ 符合条件 ② 的区间 $[a,b]$； 答案1 $[-1,1]$ 解析1 因为 $y=-x^{3}$ 为 $\mathbb R$ 上的单调递减函数，于是 $x=a,x=b$ 时的函数值分别为 $b,a(a<b)$．所以\[\begin{cases}-a^{3}=b,\\ -b^{3}=a.\end{cases}\]解得 $(a,b)=(-1,1)$，所以闭函数 $y=-x^{3}$ 符合条件 ① 的区间为 $[-1,1]$． 备注1 问题2 判断函数 $f(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}(x>0)$ 是否为闭函数？并说明理由； 答案2 不是闭函数 解析2 由于函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{2}{\sqrt 3},+\infty\right)$ 上单调递增．在 $f(x)$ 的定义域上取两点 $b>a>0$，因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，所以 $b\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 3}$ 或 $a\geqslant \dfrac{2}{\sqrt 3}$，下面分两种情况讨论：<br/><case>情形一</case> $0<a<b\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 3}$，此时值域为 $\left[f(b),f(a)\right]$，于是\[\begin{cases}a=\dfrac{3}{4}b+\dfrac{1}{b}\\ b=\dfrac{3}{4}a+\dfrac{1}{a}\end{cases}.\]无解．<br/><case>情形二</case> $\dfrac{2}{\sqrt 3}\leqslant a<b$，此时值域为 $\left[f(a),f(b)\right]$，于是\[\begin{cases}a=\dfrac{3}{4}a+\dfrac{1}{a}\\ b=\dfrac{3}{4}b+\dfrac{1}{b}\end{cases}.\]所以 $a,b$ 是方程 $x=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}$ 的两根，解得 $x=\pm 2$，不符合题意．<br/>综上，函数 $f(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{x}(x>0)$ 不是闭函数． 备注2 问题3 若 $y=k+\sqrt{x+2}$ 是闭函数，求实数 $k$ 的取值范围． 答案3 $\left(-\dfrac{9}{4},-2\right]$ 解析3 函数 $y=k+\sqrt {x+2}(x\geqslant -2)$ 是闭函数，则存在 $b>a\geqslant -2$，使得$$\begin{cases}k+\sqrt {a+2}=a,\\ k+\sqrt{b+2}=b,\end{cases}$$也即 $y=k+\sqrt {x+2}$ 与 $y=x$ 有两个不同的交点，计算得到 $-\dfrac{9}{4}<k\leqslant -2$，如图：<img src="/static/images/aff7f0c3c110fe7b32eab2db9859aa6c.png" class="img-responsive" />因此实数 $k$ 的取值范围为 $\left(-\dfrac{9}{4},-2\right]$． 备注3