题目 对于定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$，若函数 $y=f(x)-(ax+b)$ 满足：<br/>① 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递减；<br/>② 存在常数 $p$，使其值域为 $(0,p]$，则称函数 $g(x)=ax+b$ 为 $f(x)$ 的渐进函数． 问题1 求证：函数 $g(x)=x+1$ 是函数 $f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1},x\in [0,+\infty)$ 的渐进函数，并求此时实数 $p$ 的值； 答案1 $2$ 解析1 考虑到\[f(x)-g(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}-x-1=\dfrac{2}{x+1},\]该函数在 $[0,+\infty)$ 上单调递减且其值域为 $(0,2]$，于是命题得证，且 $p=2$． 备注1 问题2 若函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1},x\in[0,+\infty)$ 的渐进函数是 $g(x)=ax$，求实数 $a$ 的值，并说明理由． 答案2 $1$ 解析2 设 $h(x)=\sqrt{x^2+1}-ax$．<br/><case>情形一</case> $a\leqslant 0$．此时 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，不符合题意．<br/><case>情形二</case> $0<a<1$．此时解关于 $x$ 的方程\[\sqrt{x^2+1}-ax=1,\]可得\[x=\dfrac{2a}{1-a^2},\]于是\[h\left(\dfrac{2a}{1-a^2}\right)=h(0),\]因此函数 $h(x)$ 不单调，不符合题意．<br/><case>情形三</case> $a=1$．此时函数\[h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\]在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，且其值域为 $(0,1]$，符合题意．<br/><case>情形四</case> $a>1$．此时\[h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}-(a-1)x\leqslant 1-(a-1)x,\]于是取 $x_0=\dfrac{1}{a-1}$，则\[h(x_0)\leqslant 0,\]因此函数 $h(x)$ 的值域不形如 $(0,p]$，不符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的值为 $1$． 备注2