题目 定义域为 $D$ 的函数 $f(x)$，如果对于区间 $I$ 内（$I\subseteq D$）的任意两个数 $x_1,x_2$ 都有 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)\geqslant \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 成立，则称此函数在区间 $I$ 上是凸函数． 问题1 判断函数 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上是否为凸函数，并证明你的结论； 答案1 是凸函数 解析1 对于函数 $f(x)=\ln x$，有\[\ln\dfrac{x_1+x_2}2-\dfrac{\ln x_1+\ln x_2}2=\dfrac 12\ln\dfrac{(x_1+x_2)^2}{4x_1x_2}=\dfrac 12\ln\left[1+\dfrac{(x_1-x_2)^2}{4x_1x_2}\right]\geqslant 0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为凸函数． 备注1 问题2 如果函数 $f(x)=x^2+\dfrac ax$ 在 $[1,2]$ 上是凸函数，求实数 $a$ 的取值范围； 答案2 $(-\infty,-8]$ 解析2 根据题意，对任意 $x_1,x_2\in [1,2]$，且 $x_1\ne x_2$，有\[f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)\geqslant\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2},\]即\[\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)^2+\dfrac{2a}{x_1+x_2}\geqslant \dfrac{x_1^2+\dfrac{a}{x_1}+x_2^2+\dfrac{a}{x_2}}{2},\]整理得\[a\leqslant -\dfrac 12x_1x_2(x_1+x_2),\]于是实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-8]$． 备注2 问题3 对于区间 $I$ 上的凸函数 $f(x)$，若 $x_i\in I$（$i=1,2,3$），求证：$f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\right)\geqslant \dfrac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{3}$． 答案3 略 解析3 根据题意，记\[m=\dfrac{x_1+x_2+x_3}3,\]则\[\begin{split}f\left(m\right)&=<br/>f\left(\dfrac{\dfrac{x_1+x_2}2+\dfrac{x_3+m}{2}}2\right)\\<br/>&\geqslant \dfrac{f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)+f\left(\dfrac{x_3+m}{2}\right)}{2}\\<br/>&\geqslant \dfrac{\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}+\dfrac{f(x_3)+f(m)}{2}}{2}\\<br/>&=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{4}+\dfrac{f(m)}4,\end{split}\]也即\[\dfrac 34f(m)\geqslant \dfrac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{4},\]因此原命题得证． 备注3