已知 $\triangle ABP$ 的三个顶点都在抛物线 $C:{x^2}= 4y$ 上，$F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，点 $M$ 为 $AB$ 的中点，$\overrightarrow{PF}= 3\overrightarrow{FM}$．
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（文）
【标注】
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若 $|PF| = 3$，求点 $M$ 的坐标；标注答案$\left(\mp\dfrac{2\sqrt 2}3,\dfrac 23\right)$解析若 $|PF|=3$，则 $P$ 的纵坐标为 $2$，因此 $P$ 点横坐标为 $\pm 2\sqrt 2$，因此由 $\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FM}$ 可得点 $M$ 的坐标为 $\left(\mp\dfrac{2\sqrt 2}3,\dfrac 23\right)$．
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求 $\triangle ABP$ 面积的最大值．标注答案$\dfrac{256\sqrt 5}{135}$解析设点 $P(4t,4t^2)$，$A(4t_1,4t_1^2)$，$B(4t_2,4t_2^2)$．
由 $\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FM}$ 以及 $F(0,1)$ 可得 $M\left(-\dfrac 43t,-\dfrac 43t^2+\dfrac 43\right)$，因此$$\begin{cases} 2(t_1+t_2)=-\dfrac 43t,\\ 2(t_1^2+t_2^2)=-\dfrac 43t^2+\dfrac 43.\end{cases}$$直线 $AB$ 的斜率为$$\dfrac{4t_1^2-4t_2^2}{4t_1-4t_2}=t_1+t_2=-\dfrac 23t,$$因此直线 $AB$ 的方程为$$y=-\dfrac 23t\left(x+\dfrac 43t\right)-\dfrac 43t^2+\dfrac 43,$$即$$y=-\dfrac 23tx-\dfrac{20}9t^2+\dfrac 43.$$由于 $\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FM}$，因此三角形 $PAB$ 的面积是三角形 $FAB$ 面积的 $4$ 倍，于是三角形 $PAB$ 的面积\[\begin{split}S&= 4\cdot\dfrac 12\cdot\sqrt{1+\left(-\dfrac 23t\right)^2}\cdot|4t_1-4t_2|\cdot\dfrac{\left|\dfrac{20}9t^2-\dfrac 13\right|}{\sqrt{1+\dfrac 49t^2}}\\
&=\dfrac 89\cdot |t_1-t_2|\cdot|20t^2-3|\\
&=\dfrac 89\cdot\sqrt{2(t_1^2+t_2^2)-(t_1+t_2)^2}\cdot|20t^2-3|\\
&=\dfrac{16}{27}\cdot \sqrt{3-4t^2}\cdot|20t^2-3|\\
&=\dfrac{16}{27\sqrt{10}}\cdot \sqrt{(20t^2-3)(20t^2-3)(30-40t^2)}\\
&\leqslant \dfrac{16}{27\sqrt{10}}\cdot \sqrt{\left(\dfrac {24}3\right)^3}\\
&=\dfrac{256\sqrt 5}{135},\end{split}\]等号当 $t^2=\dfrac{11}{20}$ 时取得．因此所求三角形 $PAB$ 面积的最大值为 $\dfrac{256\sqrt 5}{135}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
