已知 $\triangle ABP$ 的三个顶点都在抛物线 $C:{x^2}= 4y$ 上，$F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，点 $M$ 为 $AB$ 的中点，$\overrightarrow{PF}= 3\overrightarrow{FM}$．
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（文）
【标注】
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若 $|PF| = 3$，求点 $M$ 的坐标；标注答案$\left(\mp\dfrac{2\sqrt 2}3,\dfrac 23\right)$解析根据题意，有 $P\left(\pm 2\sqrt 2,2\right)$，又\[\overrightarrow{PM}=-4\overrightarrow{MF},\]于是根据定比分点坐标公式，有 $M\left(\mp\dfrac{2\sqrt 2}3,\dfrac 23\right)$．
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求 $\triangle ABP$ 面积的最大值．标注答案$\dfrac{256\sqrt 5}{135}$解析设点 $P(4t,4t^2)$，$A(4t_1,4t_1^2)$，$B(4t_2,4t_2^2)$．
由 $\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FM}$ 以及 $F(0,1)$ 可得 $M\left(-\dfrac 43t,-\dfrac 43t^2+\dfrac 43\right)$，因此$$\begin{cases} 2(t_1+t_2)=-\dfrac 43t,\\ 2(t_1^2+t_2^2)=-\dfrac 43t^2+\dfrac 43.\end{cases}$$进而\[\begin{cases} t_1+t_2=-\dfrac {2t}3,\\ t_1t_2=\dfrac{5t^2-3}{9},\end{cases}\]因此 $t_1,t_2$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2+\dfrac{2t}3x+\dfrac{5t^2-3}{9}=0\]的两根．进而 $\triangle ABP$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12\left|(4t_1-4t)(4t_2^2-4t^2)-(4t_2-4t)(4t_1^2-4t^2)\right|\\
&=8|(t_1-t)(t_2-t)(t_1-t_2)|\\
&=8\left|t^2+\dfrac{2t^2}{3}+\dfrac{5t^2-3}9\right|\cdot \sqrt{\dfrac {4t^2}9-\dfrac{20t^2-12}9}\\
&=\dfrac{16}{27}\cdot |20t^2-3|\cdot \sqrt{3-4t^2}\\
&=\dfrac{16}{27\sqrt{10}}\cdot \sqrt{(20t^2-3)(20t^2-3)(30-40t^2)}\\
&\leqslant \dfrac{16}{27\sqrt{10}}\cdot \sqrt{\left(\dfrac {24}3\right)^3}\\
&=\dfrac{256\sqrt 5}{135},\end{split}\]等号当 $t^2=\dfrac{11}{20}$ 时取得，因此所求 $\triangle ABP$ 面积的最大值为 $\dfrac{256\sqrt 5}{135}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
