题目 已知圆 $C:x^2+y^2=4$． 问题1 求圆 $C$ 被直线 $\sqrt 3 x+y-2\sqrt 3=0$ 截得的优弧与劣弧弧长之比； 答案1 $5:1$ 解析1 弦心距为 $\sqrt 3$，所以劣弧所对圆心角为 $2\arccos {\dfrac{\sqrt 3}{2}}=\dfrac{\pi}{3}$；因此所求弧长之比为 $5:1$． 备注1 问题2 求过点 $(-3,0)$ 且分圆 $C$ 所成的两段弧长之比为 $1:2$ 的直线方程； 答案2 $y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{4}(x+3)$ 解析2 若弧长之比为 $1:2$，则劣弧所对圆心角为 $\dfrac{2\pi}{3}$，因此弦心距为 $1$．设直线为 $y=k(x+3)$，则 $\dfrac{3k}{\sqrt{1+k^2}}=1$，解得 $k=\pm \dfrac{\sqrt 2}{4}$．所以所求直线方程为 $y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{4}(x+3)$． 备注2 问题3 求横截距为 $-1$ 的直线分圆 $C$ 所成的优弧与劣弧弧长之比 $k$ 的取值范围； 答案3 $(1,2]$ 解析3 弦心距的取值范围为 $(0,1]$，所以劣弧所对圆心角的取值范围为 $\left[\dfrac{2\pi}{3},\pi\right)$．因此所求弧长之比的取值范围是 $(1,2]$． 备注3 问题4 设横截距为 $a$ 的直线分圆 $C$ 所成的优弧与劣弧弧长之比的取值范围为 $S$，若 $S$ 满足：$\forall k >2$，均有 $k\in S$，求 $a$ 的取值范围． 答案4 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ 解析4 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$． 备注4