已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与圆 $(x-m)^2+y^2=r^2$（$r>0$）相切，求 $m$ 的所有可能值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $0<r<\dfrac ba\cdot\sqrt{a^2-b^2}$ 时，$m=a\pm r$；
当 $\dfrac{bc}a\leqslant r\leqslant b$ 时，$m=a\pm r$ 或 $m=\pm \dfrac {\sqrt{a^2-b^2}}{b}\cdot \sqrt{b^2-r^2}$；
当 $r>b$ 时，$m=a\pm r$
当 $\dfrac{bc}a\leqslant r\leqslant b$ 时，$m=a\pm r$ 或 $m=\pm \dfrac {\sqrt{a^2-b^2}}{b}\cdot \sqrt{b^2-r^2}$；
当 $r>b$ 时，$m=a\pm r$
【解析】
设 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，联立椭圆与圆方程，可得\[\dfrac{c^2}{a^2}x^2-2mx+m^2+b^2-r^2=0,\]该方程的判别式\[\Delta=\dfrac{4}{a^2}\left(b^2m^2+c^2r^2-b^2c^2\right).\]情形一 有 $x$ 轴上的公共点．此时 $m=a\pm r$，椭圆与圆相切于椭圆的长轴端点．
情形二 当 $0<r\leqslant b$ 时，$\Delta=0$ 且此时对应的 $x$ 在 $[-a,a]$ 上，也即\[b^2m^2+c^2r^2-b^2c^2=0,\]且\[-a\leqslant\dfrac{a^2m}{c^2}\leqslant a,\]解得\[m=\pm \dfrac cb\cdot \sqrt{b^2-r^2},\dfrac{bc}a\leqslant r\leqslant b.\]此时椭圆与圆相切于横坐标为 $\pm \dfrac{am}c$ 的两点．
综上所述，$m$ 的所有可能值为
当 $0<r<\dfrac ba\cdot\sqrt{a^2-b^2}$ 时，$m=a\pm r$；
当 $\dfrac{bc}a\leqslant r\leqslant b$ 时，$m=a\pm r$ 或 $m=\pm \dfrac {\sqrt{a^2-b^2}}{b}\cdot \sqrt{b^2-r^2}$；
当 $r>b$ 时，$m=a\pm r$．
综上所述，$m$ 的所有可能值为
当 $0<r<\dfrac ba\cdot\sqrt{a^2-b^2}$ 时，$m=a\pm r$；
当 $\dfrac{bc}a\leqslant r\leqslant b$ 时，$m=a\pm r$ 或 $m=\pm \dfrac {\sqrt{a^2-b^2}}{b}\cdot \sqrt{b^2-r^2}$；
当 $r>b$ 时，$m=a\pm r$．
答案
解析
备注
