已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $(0,\sqrt 2)$，且离心率 $e=\dfrac{\sqrt 2}2$．
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（理）
【标注】
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求椭圆 $E$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$解析根据题意，$b=\sqrt 2$，$a=2$，$c=\sqrt 2$，于是椭圆方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$．
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设直线 $l:x=my-1$（$m\in\mathbb R$）交椭圆于 $A,B$ 两点，判断点 $G\left(-\dfrac 94,0\right)$ 与以线段 $AB$ 为直径的圆的位置关系，并说明理由．标注答案$G$ 点在以线段 $AB$ 为直径的圆外解析设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立直线 $AB$ 的方程与椭圆方程，有$$(m^2+2)y^2-2my-3=0,$$从而$$y_1y_2=\dfrac{-3}{m^2+2},y_1+y_2=\dfrac{2m}{m^2+2}.$$
另一方面，考虑\[\begin{split} \overrightarrow {GA}\cdot\overrightarrow {GB}&=\left(x_1+\dfrac 94\right)\left(x_2+\dfrac 94\right)+y_1y_2\\
&=\left(my_1+\dfrac 54\right)\left(my_2+\dfrac 54\right)+y_1y_2\\
&=(m^2+1)\cdot y_1y_2+\dfrac{5m}4\cdot(y_1+y_2)+\dfrac {25}{16}\\
&=(m^2+1)\cdot\dfrac{-3}{m^2+2}+\dfrac{5m}4\cdot\dfrac{2m}{m^2+2}+\dfrac {25}{16}\\
&=\dfrac{17m^2+2}{16(m^2+2)}>0,\end{split}\]又 $G,A,B$ 三点不共线，于是 $\angle AGB$ 为锐角，因此 $G$ 点在以线段 $AB$ 为直径的圆外．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
