设函数 $f(x)=x^2-1$，对任意 $x\in\left[\dfrac32,+\infty\right)$，$$f\left(\dfrac xm\right)-4m^2f(x)\leqslant f(x-1)+4f(m)$$恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2010年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac {\sqrt 3}{2}\right]\cup\left[\dfrac {\sqrt 3}{2},+\infty\right)$
【解析】
题中不等式即$$\left(\dfrac xm\right)^2-1-4m^2(x^2-1)\leqslant (x-1)^2-1+4(m^2-1),$$我们将 $m$ 与 $x$ 进行分离，整理得$$\dfrac{1}{m^2}-4m^2\leqslant 1-\dfrac 2x-\dfrac 3{x^2},$$这个不等式对任意 $x\in\left[\dfrac32,+\infty\right)$ 恒成立，只需要左边小于等于右边的最小值．而右边等于$$-3\left(\dfrac 1x+\dfrac 13\right )^2+\dfrac 43,\dfrac 1x\in\left(0,\dfrac 23\right ],$$故最小值为 $-\dfrac 53$，从而有$$\dfrac{1}{m^2}-4m^2\leqslant -\dfrac53.$$解得$$m\leqslant -\dfrac{\sqrt3}2\lor m\geqslant \dfrac{\sqrt3}2.$$
答案
解析
备注
