非负实数 $x_1,x_2,\cdots,x_8$ 满足\[x_1+x_2+\cdots+x_8=1,\]求\[
\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}ix_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}\dfrac{x_i}{i}\right)^2
\]的最大值．
\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}ix_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}\dfrac{x_i}{i}\right)^2
\]的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意，\begin{align*}
\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}ix_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}\dfrac{x_i}{i}\right)^2
&=\dfrac{1}{16}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}ix_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}\dfrac{4x_i}{i}\right)^2\\
&\leqslant\dfrac{\left[9\left(x_1+x_8\right)+9\left(x_2+x_3+\cdots+x_7\right)\right]^3}{16\cdot 27}\\
&=\dfrac{27}{16},
\end{align*}当且仅当 $x_1=\dfrac{5}{7}$，$x_8=\dfrac{2}{7}$，$x_2=x_3=\cdots=x_7=0$ 时等号成立．因此 $\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}ix_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}\dfrac{x_i}{i}\right)^2$ 的最大值为 $\dfrac{27}{16}$．
\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}ix_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}\dfrac{x_i}{i}\right)^2
&=\dfrac{1}{16}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}ix_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}\dfrac{4x_i}{i}\right)^2\\
&\leqslant\dfrac{\left[9\left(x_1+x_8\right)+9\left(x_2+x_3+\cdots+x_7\right)\right]^3}{16\cdot 27}\\
&=\dfrac{27}{16},
\end{align*}当且仅当 $x_1=\dfrac{5}{7}$，$x_8=\dfrac{2}{7}$，$x_2=x_3=\cdots=x_7=0$ 时等号成立．因此 $\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}ix_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}\dfrac{x_i}{i}\right)^2$ 的最大值为 $\dfrac{27}{16}$．
答案
解析
备注
