已知正三角形内接于抛物线 $y^2=2px$，求正三角形中心的轨迹．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$n^2=\dfrac{2p(m-4p)}9$
【解析】
设抛物线 $y^2=x$ 的内接正三角形为 $\triangle ABC$，其中\[A\left(a^2,a\right), B\left(b^2,b\right), C\left(c^2,c\right),\]其中心 $P(m,n)$，则\[\begin{cases} a^2+b^2+c^2=3m,\\ a+b+c=3n,\end{cases}\]因此\[ab+bc+ca=\dfrac 12\left(9n^2-3m\right).\]直线 $AB,BC,CA$ 的斜率分别为\[\dfrac{1}{a+b},\dfrac{1}{b+c},\dfrac1{c+a},\]于是直线 $AB$ 到直线 $BC$ 的角的正切为\[\dfrac{\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}}{1+\dfrac{1}{a+b}\cdot \dfrac{1}{b+c}}=\dfrac{c-a}{1+b^2+\displaystyle\sum_{cyc}{ab}},\]因此有\[\sum_{cyc}\left(1+b^2+\sum_{cyc}{ab}\right)=0,\]也即\[3\sum_{cyc}ab+\sum_{cyc}a^2+3=0,\]从而\[\dfrac 32\left(9n^2-3m\right)+3m+3=0,\]整理得\[n^2=\dfrac{m-2}9.\]回到原问题，所求轨迹为\[\left(\dfrac{n}{2p}\right)^2=\dfrac{\dfrac{m}{2p}-2}9,\]即\[n^2=\dfrac{2p(m-4p)}9.\]
答案
解析
备注
