已知 $a,b,c\in \mathbb R$，若 $|a\cos^2x+b\sin x+c|\leqslant 1$ 对 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则 $|a\sin x+b|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
我们知道，当 $x\in\mathbb R$ 时，$|a\sin x+b|$ 的最大值为 $|a|+|b|$．而已知条件即\[\forall x\in\mathbb R,|-a\sin^2x+b\sin x+a+c|\leqslant 1,\]也即函数 $f(x)=-ax^2+bx$ 在 $[-1,1]$ 上的值域宽度不超过 $2$．
考虑到\[\begin{aligned}f(-1)&=-a-b,\\
f(0)&=0,\\
f(1)&=-a+b,\end{aligned}\]于是有\[|a+b|\leqslant 2,|a-b|\leqslant 2,\]因此 $|a|+|b|\leqslant 2$．
当 $a=2$，$b=0$ 时，$f(x)=-2x^2$ 满足要求，此时 $a+c=1$，$$|f(x)+a+c|=|-2\sin^2 x+1|=|\cos{2x}|\leqslant 1,$$所以 $|a|+|b|=2$ 可以取到，因此所求最大值为 $2$．
考虑到\[\begin{aligned}f(-1)&=-a-b,\\
f(0)&=0,\\
f(1)&=-a+b,\end{aligned}\]于是有\[|a+b|\leqslant 2,|a-b|\leqslant 2,\]因此 $|a|+|b|\leqslant 2$．
当 $a=2$，$b=0$ 时，$f(x)=-2x^2$ 满足要求，此时 $a+c=1$，$$|f(x)+a+c|=|-2\sin^2 x+1|=|\cos{2x}|\leqslant 1,$$所以 $|a|+|b|=2$ 可以取到，因此所求最大值为 $2$．
答案
解析
备注
