已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac{\sqrt 6}3$，且过点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 6}3\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}3+y^2=1$解析由于椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt 6}3$，于是可设椭圆方程为\[\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}3=\lambda,\]将点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 6}3\right)$ 代入，可得 $\lambda=\dfrac 13$，于是椭圆 $C$ 的方程为\[\dfrac{x^2}3+y^2=1.\]
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设与 $x^2+y^2=\dfrac 34$ 相切的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值及取得最大值时直线 $l$ 的方程．标注答案略解析根据椭圆的内准圆性质，有 $\angle AOB$ 始终为直角．设 $OA=m$，则有\[AB=\dfrac{m}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt 3}{2m}\right)^2}}=\dfrac{2m^2}{\sqrt{4m^2-3}},\]其中 $m^2$ 的取值范围是 $[1,3]$，因此当 $m^2=1$ 以及 $m^2=3$ 时，$AB$ 取得最大值为 $2$，进而 $\triangle AOB$ 面积的最大值为\[\dfrac 12\cdot 2\cdot \dfrac{\sqrt 3}2=\dfrac{\sqrt 3}2,\]因此所求面积最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．此时可得直线 $l$ 的方程为\[y=\dfrac{\sqrt 3}3x\pm 1,y=-\dfrac{\sqrt 3}3x\pm 1.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
