已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F(2,0)$，$M$ 为椭圆的上顶点，$O$ 为坐标原点，且 $\triangle MOF$ 是等腰直角三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}4=1$解析根据题意，有 $b=2$，于是椭圆的方程为\[\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}4=1.\]
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过点 $M$ 分别作直线 $MA,MB$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，设两直线的斜率分别为 $k_1,k_2$，且 $k_1+k_2=8$，求证：直线 $AB$ 过定点．标注答案略解析平移坐标系，使得原坐标系中的 $M(0,2)$ 为新坐标系的原点 $O'$，则椭圆方程变为\[\dfrac{x'^2}{8}+\dfrac{(y'+2)^2}{4}=1,\]即\[E':\dfrac{x'^2}8+\dfrac{y'^2}{4}+y'=0.\]设直线 $A'B'$ 的方程为\[mx'+ny'=1,\]与椭圆方程 $E'$ 联立可得\[\dfrac{x'^2}8+\dfrac{y'^2}{4}+y'\cdot (mx'+ny')=0,\]即\[\left(\dfrac 14+n\right)\left(\dfrac{y'}{x'}\right)^2+m\cdot \dfrac{y'}{x'}+\dfrac 18=0,\]根据题意，有\[k_1+k_2=-\dfrac{m}{\dfrac 14+n}=8,\]于是\[m+8n+2=0,\]即\[-\dfrac 12\cdot m-4n=1,\]于是直线 $A'B'$ 恒过定点 $P'\left(-\dfrac 12,-4\right)$，回到原坐标系，可得直线 $AB$ 恒过定点 $\left(-\dfrac 12,-2\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
