题目 已知动直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 交于 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$ 两个不同点，且 $\triangle OPQ$ 的面积 $S_{\triangle OPQ}=\dfrac{\sqrt 6}{2}$，其中 $O$ 为坐标原点．<br><img src="/static/images/300dfaad9c747265f395a18b78664613.png" class="img-responsive" /> 问题1 证明：$x_1^2+x_2^2$ 和 $y_1^2+y_2^2$ 均为定值； 答案1 略 解析1 设 $P\left(\sqrt 3\cos\alpha,\sqrt 2\sin\alpha\right)$，$Q\left(\sqrt 3\cos\beta,\sqrt 2\sin\beta\right)$，则由三角形的面积坐标公式，结合 $S_{\triangle OPQ}=\dfrac{\sqrt 6}{2}$ 可得$$\dfrac 12\left|\sqrt 3\cos\alpha\cdot\sqrt 2\sin\beta-\sqrt 2\sin\alpha\cdot\sqrt 3\cos\beta\right|=\dfrac{\sqrt 6}{2},$$化简得 $\sin \left(\alpha-\beta\right)=\pm 1$．考虑到 $P,Q$ 的对称性，不妨设 $\beta=\alpha+\dfrac\pi 2+2k\pi,k\in\mathbb Z$，于是有$$\sin\beta=\cos\alpha,\cos\beta=-\sin\alpha.$$根据上述推导，有$$\begin{aligned}x_1^2+x_2^2=&\left(\sqrt 3\cos\alpha\right)^2+\left(\sqrt 3\cos\beta\right)^2=3,\\y_1^2+y_2^2=&\left(\sqrt 2\sin\alpha\right)^2+\left(\sqrt 2\sin\beta\right)^2=2,\end{aligned}$$因此命题得证． 备注1 问题2 设线段 $PQ$ 的中点为 $M$，求 $OM\cdot PQ$ 的最大值； 答案2 $\dfrac 52$ 解析2 根据上述推导，有 $M\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\left(\cos\alpha+\cos\beta\right),\dfrac{\sqrt 2}{2}\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)\right)$，从而\[\begin{split}OM^2&=\dfrac 34\left(\cos\alpha+\cos\beta\right)^2+\dfrac 12\left(\sin\alpha+\sin\beta\right)^2\\<br/>&=\dfrac 34\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^2+\dfrac 12\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2\\<br/>&=\dfrac 14\left(5-\sin{2\alpha}\right),\end{split}\]而\[\begin{split}PQ^2&=3\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)^2+2\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)^2\\<br/>&=3\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)^2+2\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2\\<br/>&=5+\sin{2\alpha},\end{split}\]于是$$OM\cdot PQ=\dfrac 12\sqrt{25-\sin^2{2\alpha}}\leqslant \dfrac 52,$$等号当 $\alpha=0$ 时取得．因此 $OM\cdot PQ$ 的最大值为 $\dfrac 52$． 备注2 问题3 椭圆 $C$ 上是否存在三点 $D,E,G$，使得 $S_{\triangle ODE}=S_{\triangle ODG}=S_{\triangle OEG}=\dfrac{\sqrt 6}2$？若存在，判断 $\triangle DEG$ 的形状；若不存在，请说明理由． 答案3 不存在 解析3 不存在．因为不存在 $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R$，使得$$\left|\sin\left(\alpha-\beta\right)\right|=1,\left|\sin\left(\beta-\gamma\right)\right|=1,\left|\sin\left(\gamma-\alpha\right)\right|=1$$同时成立． 备注3