在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是 $BC$ 的中点，$|BC|=3\sqrt 2$，其周长为 $6+3\sqrt 2$．若点 $T$ 在线段 $AO$ 上，且 $|AT|=2|TO|$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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建立合适的平面直角坐标系，求点 $T$ 的轨迹 $E$ 的方程；标注答案$x^2+2y^2=1,y\ne 0$解析根据题意，$A$ 点在以 $B,C$ 为焦点，$6$ 为长轴长的椭圆上，该椭圆的方程为\[\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{2y^2}{9}=1,y\ne 0,\]设 $T(x,y)$，则 $A(3x,3y)$，于是轨迹 $E$ 的方程为\[x^2+2y^2=1,y\ne 0.\]
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若 $M,N$ 是射线 $OC$ 上不同的两点，$|OM|\cdot |ON|=1$，过点 $M$ 的直线与 $E$ 交于点 $P,Q$，直线 $QN$ 与 $E$ 交于另一点 $R$，求证：$\triangle MPR$ 是等腰三角形．标注答案略解析如图．
欲证明 $\triangle MPR$ 是等腰三角形，只需要证明 $P,R$ 关于 $x$ 轴对称．利用同一法，可以证明若 $P,R$ 关于 $x$ 轴对称，则直线 $QP,QR$ 与 $x$ 轴的公共点 $M,N$ 满足\[|OM|\cdot |ON|=1.\]设 $Q(x_1,y_1)$，$P(x_2,y_2)$，$R(x_2,-y_2)$，则根据截距坐标公式，有\[\begin{split}|OM|\cdot |ON|&=\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}\cdot \dfrac{-x_1y_2-x_2y_1}{-y_2-y_1}\\
&=\dfrac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{y_1^2-y_2^2}\\
&=\dfrac{(1-2y_2^2)\cdot y_1^2-(1-2y_1^2)\cdot y_2^2}{y_1^2-y_2^2}\\
&=1,\end{split}\]因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
