已知 $a,b,c\in [0,1]$，求 $a\sqrt{1-b}+b\sqrt{1-c}+c\sqrt{1-a}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt 3}3$
【解析】
令\[(x,y,z)=(\sqrt{1-a},\sqrt{1-b},\sqrt{1-c}),\]则问题等价于
新问题 已知 $x,y,z\in [0,1]$，求 $m=(1-x^2)y+(1-y^2)z+(1-z^2)x$ 的最大值．
将该式看作关于 $x$ 的二次函数\[f(x)=-y\cdot x^2+(1-z^2)\cdot x+y+(1-y^2)z,\]于是当\[x=\dfrac{1-z^2}{2y}\]即\[2xy+z^2=1,\]时该函数取得最大值．因此当 $m$ 取得最大值时，必然有\[2xy+z^2=2yz+x^2=2zx+y^2=1.\]由\[2xy+z^2=2yz+x^2\]可得\[(z-x)(y-z)=(x-y)(z-x),\]因此\[(z-x)(y-z)=(x-y)(z-x)=(y-z)(x-y),\]进而\[x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt 3}.\]因此 $m$ 的最大值为 $\dfrac{2}{\sqrt 3}$．
回到原问题，当 $(a,b,c)=\left(\dfrac 23,\dfrac 23,\dfrac 23\right)$ 时，$m$ 取得最大值为 $\dfrac{2\sqrt 3}3$．
将该式看作关于 $x$ 的二次函数\[f(x)=-y\cdot x^2+(1-z^2)\cdot x+y+(1-y^2)z,\]于是当\[x=\dfrac{1-z^2}{2y}\]即\[2xy+z^2=1,\]时该函数取得最大值．因此当 $m$ 取得最大值时，必然有\[2xy+z^2=2yz+x^2=2zx+y^2=1.\]由\[2xy+z^2=2yz+x^2\]可得\[(z-x)(y-z)=(x-y)(z-x),\]因此\[(z-x)(y-z)=(x-y)(z-x)=(y-z)(x-y),\]进而\[x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt 3}.\]因此 $m$ 的最大值为 $\dfrac{2}{\sqrt 3}$．
回到原问题，当 $(a,b,c)=\left(\dfrac 23,\dfrac 23,\dfrac 23\right)$ 时，$m$ 取得最大值为 $\dfrac{2\sqrt 3}3$．
答案
解析
备注
