题目 设函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac{2a}{x}-\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}$． 问题1 若 $a\leqslant {\rm e}$，求 $f(x)$ 的最大值； 答案1 $(1+\ln 2)a-\dfrac 14{\rm e}$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{(x-2)[ax-{\rm e}^x]}{x^3}.\]当 $a\leqslant {\rm e}$ 时，有\[{\rm e}^x\geqslant {\rm e}x\geqslant ax,\]于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline<br/>x&(0,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&+&0&-\\ \hline<br/>f(x)&\nearrow&\max&\searrow \\ \hline<br/>\end{array}\]因此当 $x=2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，亦为最大值\[f(2)=(1+\ln 2)a-\dfrac 14{\rm e}.\] 备注1 问题2 若函数 $f(x)$ 在 $(0,3)$ 内存在三个极值点，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left({\rm e},\dfrac{{\rm e}^2}2\right)\cup\left(\dfrac{{\rm e}^2}{2},\dfrac{{\rm e}^3}{3}\right)$ 解析2 记 $\varphi(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}$，则 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得最小值 ${\rm e}$．根据 $a$ 与 ${\rm e},\varphi(2),\varphi(3)$ 的大小关系讨论．<br/><case>情形一</case> $a\leqslant {\rm e}$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,3)$ 内只有一个极值点，为 $x=2$，不符合题意．<br/><case>情形二</case> ${\rm e}<a<\varphi(2)$，函数 $f(x)$ 有 $3$ 个极值点，分别在集合 $(0,1),(1,2),\{2\}$ 中，符合题意．<br/><case>情形三</case> $a=\varphi(2)$，函数 $f(x)$ 有 $1$ 个极值点，不符合题意．<br/><case>情形四</case> $\varphi(2)<a<\varphi(3)$，函数 $f(x)$ 有 $3$ 个极值点，分别在集合 $(0,1),\{2\},(2,3)$ 中，符合题意．<br/><case>情形五</case> $a\geqslant \varphi(3)$，函数 $f(x)$ 有 $3$ 个极值点，分别在集合 $(0,1),\{2\},(3,+\infty)$ 中，不符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left({\rm e},\dfrac{{\rm e}^2}2\right)\cup\left(\dfrac{{\rm e}^2}{2},\dfrac{{\rm e}^3}{3}\right)$． 备注2