在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2\sin\theta$，$\theta\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}4\right)$．
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（二测）
【标注】
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求半圆 $C$ 的参数方程；标注答案$\begin{cases} x=\cos\theta,\\ y=1+\sin\theta,\end{cases}$ 其中 $\theta\in (0,\pi)$解析半圆的圆心为 $(0,1)$，弧的端点分别为 $(1,1)$ 和 $(-1,1)$，参数方程为\[\begin{cases} x=\cos\theta,\\ y=1+\sin\theta,\end{cases}\]其中 $\theta\in (0,\pi)$．
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直线 $l$ 与两坐标轴的交点分别为 $A,B$，其中 $A(0,-2)$，点 $D$ 在半圆 $C$ 上，且直线 $CD$ 的倾斜角是直线 $l$ 的倾斜角的 $2$ 倍．若 $\triangle ABD$ 的面积为 $1+\sqrt 3$，求点 $D$ 的直角坐标．标注答案$\left(-\dfrac 12,1+\dfrac{\sqrt 3}2\right)$解析根据题意，直线 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 为锐角，于是 $D(\cos 2\theta,1+\sin 2\theta)$，$A\left(\dfrac 2{\tan \theta},0\right)$．根据三角形面积坐标公式，有 $\triangle ABD$ 的面积\[S=\dfrac 12\left|2\cos2\theta-\dfrac{2}{\tan\theta}\cdot (3+\sin 2\theta)\right|=1+\sqrt 3,\]即\[\dfrac 12\left|2\cdot \dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}-\dfrac 2{\tan\theta}\cdot \left(3+\dfrac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\right)\right|=1+\sqrt 3,\]也即\[1+\dfrac{3}{\tan\theta}=1+\sqrt 3,\]解得 $\theta=\dfrac{\pi}3$，于是 $D\left(-\dfrac 12,1+\dfrac{\sqrt 3}2\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
