已知周六的降雨概率为 $40 \%$，周日的降雨概率为 $30 \%$，周六降雨的条件下周日降雨概率是周六不降雨的条件下周日降雨概率的 $2$ 倍．设周六周日两天至少有一天下雨的概率为 $\dfrac{a}{b} $，其中 $a,b$ 为互质的正整数．求 $a+b$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$107$
【解析】
设事件 $A$ 表示周六降雨，事件 $B$ 表示周日降雨，则 $P(A)=0.4,P(B)=0.3$，故\[P(B\mid A)=2P\left (B\mid\overline{A}\right ),\]即\[\dfrac{P(AB)}{P(A)} =\dfrac{2P\left (\overline{A}B \right )}{P\left (\overline{A}\right )} ,\]结合\[P\left(AB\right)+P\left(\overline AB\right)=P(B),\]解得\[P\left (\overline{A}B \right )=\dfrac{9}{70} .\]所以周六周日两天至少有一天下雨的概率为$$P(AB)+P\left (A\overline{B} \right )+P\left (\overline{A}B \right )=P(A)+P\left (\overline{A}B \right )=\dfrac{37}{70} .$$
答案
解析
备注
