题目 已知函数 $f(x)=x^2+\dfrac 2x-a\ln x$，其中 $a$ 是实数． 问题1 若函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上有极值，求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $(-\infty,0)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{x}\cdot \left(2x^2-\dfrac 2x-a\right),\]设函数\[\varphi(x)=2x^2-\dfrac 2x-a,\]则 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且值域为 $\mathbb R$．根据题意，实数 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,\varphi(1))$，即 $(-\infty,0)$． 备注1 问题2 若函数 $f(x)$ 有唯一的零点 $x_0$，试求不超过 $x_0$ 的最大整数． 答案2 $0$ 或 $2$ 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[\begin{cases} 2x_0^2-\dfrac 2{x_0}-a=0,\\ x_0^2+\dfrac 2{x_0}-a\ln x_0=0,\end{cases}\]于是\[x_0^2+\dfrac{2}{x_0}-\left(2x_0^2-\dfrac 2{x_0}\right)\cdot \ln x_0=0,\]考虑到 $x_0=1$ 不是该方程的解，于是该方程等价于\[\dfrac{x_0^2+\dfrac 2{x_0}}{2x_0^2-\dfrac 2{x_0}}-\ln x_0=0,\]也即\[\dfrac 12+\dfrac{3}{2x_0^3-2}-\ln x_0=0,\]令\[\mu(x)=\dfrac 12+\dfrac{3}{2x^3-2}-\ln x,\]则该函数在 $(0,1)$ 以及 $(1,+\infty)$ 上单调递减，考虑到\[\begin{array}{c|ccccc}\hline<br/>x&0^+&1^-&1^+&2&3\\ \hline<br/>\mu(x)&+\infty&-\infty&+\infty&\dfrac 57-\ln 2&\dfrac{29}{52}-\ln 3\\ \hline \end{array}\]由于\[\forall x>1,\ln x<\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x},\]于是\[\ln 2<\dfrac{\sqrt 2}2<\dfrac 57,\]从而 $x_0$ 或者在 $(0,1)$ 内，或者在 $(2,3)$ 内，因此不超过 $x_0$ 的最大整数为 $0$ 或 $2$． 备注2