题目 设函数 $f(x)=\dfrac 13mx^3+(4+m)x^2$，$g(x)=a\ln (x-1)$，其中 $a\ne 0$． 问题1 若函数 $y=g(x)$ 的图象恒过定点 $T$，且点 $T$ 关于直线 $x=\dfrac 32$ 的对称点在 $y=f(x)$ 的图象上，求 $m$ 的值； 答案1 $-3$ 解析1 根据题意，有 $T(2,0)$，于是 $f(x)$ 过点 $(1,0)$，从而\[\dfrac 13m+4+m=0,\]解得\[m=-3.\] 备注1 问题2 当 $a=8$，设 $F(x)=f'(x)+g(x+1)$，讨论 $F(x)$ 的单调性； 答案2 当 $m\geqslant 0$ 时，函数 $F(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；当 $m<0$ 时，函数 $F(x)$ 在 $\left(0,-\dfrac 4m\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 4m,+\infty\right)$ 上单调递减 解析2 根据题意，有\[F(x)=mx^2+2(4+m)x+8\ln x,\]其导函数\[F'(x)=\dfrac{2(x+2)}{x}\cdot (mx+4).\]根据分界点 $m=0$ 进行讨论．<br/><case>情形一</case> $m\geqslant 0$，此时 $F'(x)>0$，于是函数 $F(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．<br/><case>情形二</case> $m<0$，此时函数 $F(x)$ 在 $\left(0,-\dfrac 4m\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 4m,+\infty\right)$ 上单调递减． 备注2 问题3 在 $(1)$ 的条件下，设 $G(x)=\begin{cases} f(x),&x\leqslant 2,\\ g(x),&x>2,\end{cases}$ 曲线 $y=G(x)$ 上是否存在两点 $P,Q$，使 $\triangle OPQ$（$O$ 为坐标原点）是以 $O$ 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在 $y$ 轴上？如果存在，求 $a$ 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 答案3 $(0,+\infty)$ 解析3 不妨设 $P$ 的横坐标为 $p$，直线 $OP$ 的斜率为 $k$，则 $P(p,pk)$，进而 $Q\left(-p,\dfrac pk\right)$．因此问题等价于\[\exists x>0,G(x)\cdot G(-x)=x^2.\]<case>情形一</case>考虑 $p\in (0,2]$，此时\[G(x)\cdot G(-x)=x^2,\]即\[\left(-x^3+x^2\right)\cdot \left(x^3+x^2\right)=x^2,\]也即\[x^2-x^4=1,\]无解．<br/><case>情形二</case>考虑 $p\in (2,+\infty)$，此时\[G(x)\cdot G(-x)=x^2,\]即\[a\ln(x-1)\cdot \left(x^3+x^2\right)=x^2,\]也即\[\dfrac 1a=(x+1)\cdot \ln (x-1),\]考虑到右侧函数在 $(2,+\infty)$ 上单调递增，于是 $a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$． 备注3