题目 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率等于 $\dfrac 12$，它的一个顶点恰好是抛物线 $x^2=8\sqrt 3y$ 的焦点．直线 $x=-2$ 与椭圆交于 $P,Q$ 两点，$A,B$ 是椭圆上位于直线 $x=-2$ 两侧的动点． 问题1 求椭圆 $C$ 的标准方程； 答案1 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 解析1 由椭圆的离心率为 $\dfrac 12$，可设椭圆方程为\[\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=\lambda,\]又椭圆过点 $(0,2\sqrt 3)$，于是可得 $\lambda=4$，因此所求椭圆 $C$ 的标准方程为\[\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1.\] 备注1 问题2 若直线 $AB$ 的斜率为 $\dfrac 12$，求四边形 $APBQ$ 面积的最大值； 答案2 $12\sqrt 3$ 解析2 根据题意，$PQ$ 为椭圆 $C$ 的通径，有\[PQ=2\cdot \dfrac{12}{4}=6.\]作伸缩变换 $(x,y)=\left(x',\dfrac{\sqrt 3}2y'\right)$，则椭圆变为圆\[C':x'^2+y'^2=16,\]直线 $A'B'$ 的斜率变为 $\dfrac{1}{\sqrt 3}$，此时\[P'Q'=6\cdot \dfrac{2}{\sqrt 3}=4\sqrt 3.\]四边形 $A'P'B'Q'$ 的对角线的夹角为 $\dfrac{\pi}3$，因此四边形 $A'P'B'Q'$ 的面积\[S'=\dfrac 12\cdot \sin\dfrac{\pi}3\cdot P'Q'\cdot A'B'\leqslant \dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt 3}2\cdot 4\sqrt 3\cdot 8=24,\]当 $P'Q'$ 为圆 $C'$ 的直径时取得等号．因此四边形 $APBQ$ 的面积的最大值为 $12\sqrt 3$，当 $PQ$ 过椭圆中心时取得最大值． 备注2 问题3 当动点 $A,B$ 满足 $\angle APQ=\angle BPQ$ 时，直线 $AB$ 的斜率是否为定值，请说明理由． 答案3 为定值 $-\dfrac 12$ 解析3 由 $\angle APQ=\angle BPQ$ 可得直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率互为相反数，作伸缩变换 $(x,y)=\left(x',\dfrac{\sqrt 3}2y'\right)$，则椭圆变为圆\[C':x'^2+y'^2=16.\]此时直线 $A'P'$ 与 $B'P'$ 的斜率依然互为相反数，从而\[\angle A'P'Q'=\angle B'P'Q',\]因此弧 $A'B'$ 被点 $Q'$ 平分，从而根据余弦定理有直线 $OQ'perp A'B'$，又 $Q(-2,-2\sqrt 3)$，进而直线 $A'B'$ 的斜率\[k'=-\dfrac 1{\sqrt 3},\]因此直线 $AB$ 的斜率为定值 $-\dfrac 12$． 备注3