题目 已知函数 $f(x)=\dfrac ax+\dfrac xa-\left(a-\dfrac 1a\right)\ln x$，实数 $a>0$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的单调区间和最值； 答案1 单调递减区间为 $(0,a^2)$，单调递增区间为 $(a^2,+\infty)$，最小值为 $\dfrac{1+a^2+2(1-a^2)\ln a}a$，没有最大值 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x+1}{ax^2}\cdot (x-a^2),\]于是函数 $f(x)$ 在 $(0,a^2)$ 上单调递减，在 $(a^2,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=a^2$ 处取得极小值，亦为最小值\[f(a^2)=\dfrac{1+a^2+2(1-a^2)\ln a}a.\] 备注1 问题2 求证：当 $a\in\left[\dfrac 12,2\right]$ 时，函数 $f(x)$ 没有零点． 答案2 略 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，考虑函数\[g(x)=1+x+(1-x)\ln x,\]则函数 $f(x)$ 的最小值为 $g(a^2)$．函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac 1x-\ln x,\]于是 $g'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，有唯一零点，记为 $m$，于是 $g(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递增，在 $(m,+\infty)$ 上单调递减，于是 $g(x)$ 在 $\left[\dfrac 14,4\right]$ 上或者为单调函数，或者先单调递增再单调递减，因此 $g(x)$ 在 $\left[\dfrac 14,4\right]$ 上的最小值为\[\min\left\{g\left(\dfrac 14\right),g(4)\right\}=\min\left\{\dfrac {5-6\ln 2}4,5-6\ln 2\right\},\]而\[\ln 2<\dfrac {\sqrt 2}2<\dfrac 56,\]于是\[\forall x\in\left[\dfrac 14,4\right],g(x)>0,\]因此当 $a\in \left[\dfrac 12,2\right]$ 时，函数 $f(x)$ 的最小值为正数，命题得证． 备注2