已知 $AB$ 是过离心率为 $e$ 的椭圆 $E$ 的焦点 $F$ 的弦，$AB$ 的垂直平分线交椭圆长轴于 $D$，求证：$\dfrac{FD}{AB}=\dfrac e2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设设弦 $AB$ 与长轴的夹角为 $\theta$，且 $AF>BF$，弦 $AB$ 的中点为 $M$，则\[AF=\dfrac{b^2}{a-c\cos\theta},BF=\dfrac{b^2}{a+c\cos\theta},\]进而\[\begin{split}\dfrac{FD}{AB}&=\dfrac{FM}{AB\cos\theta}\\
&=\dfrac{AF-\dfrac 12AB}{AB\cos\theta}\\
&=\dfrac{AF-BF}{2(AF+BF)\cos\theta}\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{BF}-\dfrac{1}{AF}}{2\left(\dfrac{1}{AF}+\dfrac{1}{BF}\right)\cos\theta}\\
&=\dfrac e2,\end{split}\]原命题得证．
&=\dfrac{AF-\dfrac 12AB}{AB\cos\theta}\\
&=\dfrac{AF-BF}{2(AF+BF)\cos\theta}\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{BF}-\dfrac{1}{AF}}{2\left(\dfrac{1}{AF}+\dfrac{1}{BF}\right)\cos\theta}\\
&=\dfrac e2,\end{split}\]原命题得证．
答案
解析
备注
