如图所示，$\angle CAD = \angle BAD = \angle ABD = \angle BCD$，求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列．
【难度】
【出处】
2011年北京大学保送生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
为了叙述方便，我们分别用 $\angle A,\angle B,\angle C$ 来表示 $\angle BAC,\angle ABC,\angle ACB$．
根据燕尾定理，我们有$$\angle BPC=\angle A+\angle B,\angle CPA=\angle B+\angle C,\angle APB=\angle C+\angle A,$$于是在 $\triangle BPC$ 中，由正弦定理有$$\frac{BC}{\sin\angle BPC}=\frac{PC}{\sin\angle CBP},$$在 $\triangle PAC$ 中，由正弦定理有$$\frac{AC}{\sin\angle CPA}=\frac{PC}{\sin\angle CAP}.$$根据已知条件有 $\angle CBP=\angle CAP$，因此$$\frac{BC}{\sin\angle BPC}=\frac{AC}{\sin\angle CPA},$$即$$\frac{BC}{\sin(\angle A+\angle B)}=\frac{AC}{\sin(\angle B+\angle C)},$$也即$$\dfrac{BC}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin A}.$$同时，在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理有$$\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{BC}{\sin A},$$两式相比，整理即得$$BC^2=AC\cdot AB.$$
根据燕尾定理，我们有$$\angle BPC=\angle A+\angle B,\angle CPA=\angle B+\angle C,\angle APB=\angle C+\angle A,$$于是在 $\triangle BPC$ 中，由正弦定理有$$\frac{BC}{\sin\angle BPC}=\frac{PC}{\sin\angle CBP},$$在 $\triangle PAC$ 中，由正弦定理有$$\frac{AC}{\sin\angle CPA}=\frac{PC}{\sin\angle CAP}.$$根据已知条件有 $\angle CBP=\angle CAP$，因此$$\frac{BC}{\sin\angle BPC}=\frac{AC}{\sin\angle CPA},$$即$$\frac{BC}{\sin(\angle A+\angle B)}=\frac{AC}{\sin(\angle B+\angle C)},$$也即$$\dfrac{BC}{\sin C}=\dfrac{AC}{\sin A}.$$同时，在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理有$$\dfrac{AB}{\sin C}=\dfrac{BC}{\sin A},$$两式相比，整理即得$$BC^2=AC\cdot AB.$$
答案
解析
备注
