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设 $a > 0,a \ne 1$，函数 $f\left( x \right) = {\log _a}\left| {\dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right|$ 在 $\left( {1,+ \infty } \right)$ 上单调递减，则 $f\left( x \right)$ 满足 \((\qquad)\)
A: 在 $\left( { - \infty,- 1} \right)$ 上单调递减，在 $\left( { - 1,1} \right)$ 上单调递增
B: 在 $\left( { - \infty,- 1} \right)$ 上单调递减，在 $\left( { - 1,1} \right)$ 上单调递减
C: 在 $\left( { - \infty,- 1} \right)$ 上单调递增，在 $\left( { - 1,1} \right)$ 上单调递增
D: 在 $\left( { - \infty,- 1} \right)$ 上单调递增，在 $\left( { - 1,1} \right)$ 上单调递减
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    复合函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    对数函数
【答案】
A
【解析】
因为函数 $f\left( x \right) = {\log _a}\left| {\dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right|$ 在 $\left( {1,+ \infty } \right)$ 上单调递减，所以$$0<a<1.$$情形一 当 $a<-1$ 时．
因为 $f(x)$ 为奇函数，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减．
情形二 当 $-1<x<1$ 时，因为 $\left| {\dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right|$ 在 $(-1,1)$ 上单调递减，所以 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上单调递增．
题目 答案 解析 备注
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