函数 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[a,b\right] $ 上有定义,若对任意 $ x_1,x_2\in \left[a,b\right] $,有 $ f \left({\dfrac{x_1+x_2}{2}}\right) \leqslant {\dfrac{1}{2}}\left[f\left(x_1\right)+ f\left(x_2\right)\right] $,则称 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[a,b\right] $ 上具有性质 $ P $.设 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[1,3\right] $ 上具有性质 $ P $,现给出如下命题:
① $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[1,3\right] $ 上的图象是连续不断的;
② $ f\left(x^2\right) $ 在 $ \left[1, {\sqrt{3}}\right] $ 上具有性质 $ P $;
③ 若 $ f\left(x\right) $ 在 $ x=2 $ 处取得最大值 $ 1 $,则 $ f\left(x\right)=1$,$x\in \left[1,3\right] $;
④ 对任意 $ x_1,x_2,x_3,x_4\in \left[1,3\right] $,有 $ f\left( {\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}}\right) \leqslant {\dfrac{1}{4}}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)\right] $.
其中真命题的序号是 \((\qquad)\)
① $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[1,3\right] $ 上的图象是连续不断的;
② $ f\left(x^2\right) $ 在 $ \left[1, {\sqrt{3}}\right] $ 上具有性质 $ P $;
③ 若 $ f\left(x\right) $ 在 $ x=2 $ 处取得最大值 $ 1 $,则 $ f\left(x\right)=1$,$x\in \left[1,3\right] $;
④ 对任意 $ x_1,x_2,x_3,x_4\in \left[1,3\right] $,有 $ f\left( {\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}}\right) \leqslant {\dfrac{1}{4}}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)\right] $.
其中真命题的序号是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考福建卷(理)
【标注】
【答案】
D
【解析】
命题 ① 不正确,反例为 $f(x)=\begin{cases} 2,x=1,\\ 1,x\in (1,3].\end{cases}$;
命题 ② 不正确,反例为 $f(x)=-x^{\frac 14}$,此时 $f(x^2)=x^{\frac 12}$;再比如 $f(x)=-x$ 具有性质 $P$,$f(x^2)=-x^2$ 也不具有性质 $P$;
命题 ③ 正确,对任意 $x\in [0,1]$,都有$$1=f\left(\dfrac{(2-x)+(2+x)}2\right)\leqslant \dfrac 12\left[f(2-x)+f(2+x)\right],$$又 $f(2-x),f(2+x)\leqslant 1$,从而 $f(2-x)=f(2+x)=1$,这就证明了 $f(x)=1$,$x\in [1,3]$;
命题 ④ 正确,这是因为$$\begin{split} f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant &\dfrac 12\left[f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)+f\left(\dfrac{x_3+x_4}2\right)\right]\\\leqslant &\dfrac 14\left[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)\right].\end{split} $$综上所述,所有正确的命题是 ③④.
命题 ② 不正确,反例为 $f(x)=-x^{\frac 14}$,此时 $f(x^2)=x^{\frac 12}$;再比如 $f(x)=-x$ 具有性质 $P$,$f(x^2)=-x^2$ 也不具有性质 $P$;
命题 ③ 正确,对任意 $x\in [0,1]$,都有$$1=f\left(\dfrac{(2-x)+(2+x)}2\right)\leqslant \dfrac 12\left[f(2-x)+f(2+x)\right],$$又 $f(2-x),f(2+x)\leqslant 1$,从而 $f(2-x)=f(2+x)=1$,这就证明了 $f(x)=1$,$x\in [1,3]$;
命题 ④ 正确,这是因为$$\begin{split} f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant &\dfrac 12\left[f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)+f\left(\dfrac{x_3+x_4}2\right)\right]\\\leqslant &\dfrac 14\left[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)\right].\end{split} $$综上所述,所有正确的命题是 ③④.
题目
答案
解析
备注