$\forall x>0,x{\rm e}^{2x}-kx-\ln x-1\geqslant 0$，求实数 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty ,2]$
【解析】
分离变量，记函数\[f(x)={\rm e}^{2x}-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x,\]则问题的关键是求 $f(x)$ 的最小值．函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{2x^2{\rm e}^{2x}+\ln x}{x^2},$$在 $(0,1)$ 上有唯一零点，设为 $m$，则实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,f(m)]$，其中\[2m^2{\rm e}^{2m}+\ln m=0.\]由于\[2m{\rm e}^{2m}=\dfrac 1m\ln\dfrac 1m,\]即\[2m\cdot {\rm e}^{2m}=\ln\dfrac 1m\cdot {\rm e}^{\ln\frac 1m},\]考虑到函数 $y=x\cdot {\rm e}^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，于是\[2m=\ln \dfrac 1m,\]即\[m{\rm e}^{2m}=1,\]于是\[f(m)=\dfrac{m{\rm e}^{2m}-\ln m-1}{m}=-\dfrac{\ln m}{m}=2,\]所求实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．
答案
解析
备注
