$\forall x>0,x{\rm e}^{2x}-kx-\ln x-1\geqslant 0$，求实数 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty ,2]$
【解析】
分离变量，记函数 $f(x)={\rm e}^{2x}-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x$，则问题的关键是求 $f(x)$ 的最小值．函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=2{\rm e}^{2x}+\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac 1x\left(2x{\rm e}^{2x}+\dfrac{\ln x}x\right).$$令$$\begin{cases} 2x{\rm e}^{2x}=a,\\ \dfrac{\ln x}{x}=-a,\end{cases} $$则解得$$x=\dfrac 12W(a)=\dfrac{W(a)}a,$$于是 $a=2$，且极小值点为 $x=\dfrac 12W(2)$，因此函数 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值是$$f\left(\dfrac 12W(2)\right)=\dfrac{\dfrac 12W(2){\rm e}^{W(2)}-1}{\dfrac 12W(2)}+2=2,$$因此 $k$ 的取值范围是 $(-\infty ,2]$．
答案
解析
备注
