题目 已知函数 $f(x)=a{\rm e}^x+\dfrac 12x^2+bx$，曲线 $f(x)$ 在点 $(0,f(0)$ 处的切线为 $y-1=0$． 问题1 求 $f(x)$ 的解析式； 答案1 $f(x)={\rm e}^x+\dfrac 12x^2-x$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a{\rm e}^x+x+b,\]根据题意，有\[\begin{cases} f(0)=1,\\ f'(0)=0,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} a=1,\\ b=-1,\end{cases}\]于是\[f(x)={\rm e}^x+\dfrac 12x^2-x.\] 备注1 问题2 当 $x>\ln 2$ 时，$(x-m)[f'(x)-x-1]+2x+1>0$ 恒成立，求整数 $m$ 的最大值． 答案2 $2$ 解析2 设不等式左侧函数为 $g(x)$，则\[g(x)=(x-m)({\rm e}^x-2)+2x+1,\]其导函数\[g'(x)={\rm e}^x\cdot [x-(m-1)].\]由于求整数 $m$ 的最大值，因此从大到小讨论．<br/>先考虑 $m-1>\ln 2$ 的情形．此时 $g(x)$ 的极小值，亦为最小值\[g(m-1)=2m+1-{\rm e}^{m-1}.\]设\[\varphi(x)=2x+1-{\rm e}^{x-1},\]则\[\varphi'(x)=2-{\rm e}^{x-1},\]于是 $\varphi(x)$ 在 $(0,1+\ln 2)$ 上单调递增，在 $(1+\ln 2,+\infty)$ 上单调递减．考虑到\[\begin{split} \varphi(2)=5-{\rm e}>0,\\ \varphi(3)=7-{\rm e}^2<0,\end{split}\]因此整数 $m$ 的最大值为 $2$． 备注2