题目 已知函数 $f(x)=a{\rm e}^x+\dfrac 12x^2+bx$，曲线 $f(x)$ 在点 $(0,f(0)$ 处的切线为 $y-1=0$． 问题1 求 $f(x)$ 的解析式； 答案1 $f(x)={\rm e}^x+\dfrac 12x^2-x$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a{\rm e}^x+x+b,\]根据题意，有\[\begin{cases} f(0)=1,\\ f'(0)=0,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} a=1,\\ b=-1,\end{cases}\]于是\[f(x)={\rm e}^x+\dfrac 12x^2-x.\] 备注1 问题2 当 $x>\ln 2$ 时，$(x-m)[f'(x)-x-1]+2x+1>0$ 恒成立，求整数 $m$ 的最大值． 答案2 $2$ 解析2 根据题意，有\[\forall x>\ln 2,(x-m)({\rm e}^x-2)+2x+1>0,\]也即\[\forall x>\ln 2,m<\dfrac{1+x{\rm e}^x}{{\rm e}^x-2},\]也即\[\forall x>2,m<\dfrac {1+x\ln x}{x-2}.\]设不等式右边为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{-3+x-2\ln x}{(x-2)^2},\]易知 $\varphi(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上有极小值点，亦为最小值点，记为 $x_0$，且 $x_0\in (5,9)$．因此令 $x=7$，可得\[m<\dfrac{1+7\ln 7}{5}<\dfrac{1+7\cdot 2}{5}=3.\]接下来尝试证明 $m$ 可以取到 $2$，也即证明\[\forall x>2,x\ln x+1-2(x-2)>0,\]清君侧，即证明\[\forall x>2,\ln x+\dfrac 5x-2>0,\]记不等式左边为 $\mu(x)$，则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{x-5}{x^2},\]于是 $\mu(x)$ 的极小值，亦为最小值是\[\mu(5)=\ln 5-1>0,\]因此整数 $m$ 的最大值为 $2$． 备注2