题目 已知幂函数 $f(x)=(p^2-3p+3)x^{p^2-\frac 32p-\frac 12}$ 满足 $f(2)<f(4)$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的解析式； 答案1 $f(x)=\sqrt x$ 解析1 根据题意，有\[\begin{cases} p^2-3p+3=1,\\ p^2-\dfrac 32p-\dfrac 12>0,\end{cases}\]解得 $p=2$，于是 $f(x)=\sqrt x$． 备注1 问题2 若函数 $g(x)=f^2(x)+mf(x)$（$x\in [1,9]$），是否存在实数 $m$，使得 $g(x)$ 的最小值为 $-4$？ 答案2 $-4$ 解析2 根据题意，有\[g(x)=x+m\sqrt x,\]也即\[g(x)=\left(\sqrt x+\dfrac m2\right)^2-\dfrac {m^2}4,\]于是 $g(1),g(9),-\dfrac{m^2}4$ 中必然有一个数为 $-4$．因此所有可能的 $m$ 的值为\[-4,-5,-\dfrac{13}3,4,\]经检验，当 $m=-4$ 时，函数 $g(x)$ 的最小值为 $-4$． 备注2 问题3 若函数 $h(x)=n-f(x+3)$，是否存在实数 $a,b$，使得函数 $h(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的值域为 $[a,b]$？ 答案3 $\left(-\dfrac 94,-2\right]$ 解析3 根据题意，有\[h(x)=n-\sqrt{x+3},\]该函数在 $[-3,+\infty)$ 上单调递减，于是\[\begin{cases} n-\sqrt{a+3}=b,\\ n-\sqrt{b+3}=a,\end{cases}\]设 $\sqrt{a+3}=s$，$\sqrt{b+3}=t$，其中 $0\leqslant s<t$，则方程组等价于\[t^2+s-3=s^2+t-3=n,\]即\[\begin{cases} (t^2+s-3)-(s^2+t-3)=0,\\ (t^2+s-3)+(s^2+t-3)=2n,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} s+t=1,\\ s\cdot t=-n-2,\end{cases}\]因此 $s,t$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2-x-n-2=0,\]的两个不同非负实根．从而问题等价于\[\begin{cases} -n-2\geqslant 0,\\ \Delta=1+4(n+2)>0,\end{cases}\]解得 $n$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 94,-2\right]$． 备注3