题目 已知函数 $f(x)=\ln x-kx+k$． 问题1 若 $f(x)\geqslant 0$ 有唯一解，求实数 $k$ 的值； 答案1 $1$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1-kx}x.\]<case>情形一</case> $k>1$．此时在区间 $\left(\dfrac 1k,1\right)$ 上，函数 $f(x)$ 单调递减，而 $f(1)=0$，因此该区间上均有 $f(x)\geqslant 0$，不符合题意．<br/><case>情形二</case> $k=1$．此时\[\begin{array} {c|ccc}\hline<br/>x&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline<br/>f(x)&\nearrow&0&\searrow\\ \hline<br/>\end{array}\]不等式 $f(x)\geqslant 0$ 有唯一解 $x=1$，符合题意．<br/><case>情形三</case> $0<k<1$．此时在区间 $\left(1,\dfrac 1k\right)$ 上，函数 $f(x)$ 单调递增，而 $f(1)=0$，因此该区间上均有 $f(x)\geqslant 0$，不符合题意．<br/><case>情形四</case> $k\leqslant 0$．此时当 $x\geqslant 1$ 时，均有 $f(x)\geqslant 0$，不符合题意．<br/>综上所述，实数 $k$ 的值为 $1$． 备注1 问题2 求证：当 $a\leqslant 1$ 时，$x\left(f(x)+kx-k\right)<{\rm e}^x-ax^2-1$； 答案2 略 解析2 只需要证明\[x\cdot \ln x<{\rm e}^x-x^2-1.\]<case>情形一</case> $0<x\leqslant 1$．记右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^x-2x\geqslant {\rm e}x-2x>0,\]于是 $\varphi(x)$ 单调递增，有\[\varphi(x)>0\geqslant x\cdot \ln x,\]不等式成立．<br/><case>情形二</case> $x>1$．此时证明\[\dfrac{\ln x}{x}\leqslant\dfrac{1}{\rm e}<\dfrac 13{\rm e}^{\frac 32}-1\leqslant\dfrac{{\rm e}^x-x^2-\dfrac{1}4{\rm e}^{\frac 32}}{x^2}<\dfrac{{\rm e}^x-x^2-1}{x^2}\]即得． 备注2 事实上 $y=\dfrac{\ln x}x$ 在 $x={\rm e}$ 处取得极大值 $\dfrac{1}{\rm e}$，函数\[y=\dfrac{{\rm e}^x-x^2-\dfrac{1}4{\rm e}^{\frac 32}}{x^2}\]在 $x=\dfrac 32$ 处取得极小值．