已知抛物线 $\Omega$ 的顶点是坐标原点 $O$，焦点 $F$ 在 $y$ 轴正半轴上，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $M,N$ 两点，且满足 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求抛物线 $\Omega$ 的方程；标注答案$x^2=4y$解析由题可设抛物线 $\Omega:x^2=2py$（$p>0$），直线 $l:y=kx+\dfrac{p}{2}$，联立得$$x^2-2pkx-p^2=0,$$设 $M(2px_1,2px_1^2),N(2px_2,2px_2^2)$，则有$$x_1x_2=-\dfrac14,$$因此有$$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=4p^2\cdot\left(x_1x_2+x_1^2x_2^2\right)=-3,$$解得 $p=2$，因此抛物线 $\Omega$ 的方程为 $x^2=4y$．
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若直线 $y=x$ 与抛物线 $\Omega$ 交于 $A,B$ 两点，在抛物线 $\Omega$ 上是否存在异于 $A,B$ 的点 $C$，使得经过 $A,B,C$ 三点的圆与抛物线 $\Omega$ 在点 $C$ 处有相同的切线？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案$(-2,1)$，$x^2+y^2-x-7y=0$解析联立 $y=x$ 与抛物线 $\Omega$，得$$A(0,0),B(4,4),$$因此过 $A,B,C$ 三点的圆可设为$$x^2+y^2+Dx+Ey=0,$$设点 $C\left(4m,4m^2\right)$，注意到圆与抛物线在 $C$ 处相切，在 $A,B$ 处相交，联立抛物线 $\Omega$ 与圆的方程，得$$\dfrac{x^4}{16}+\left(\dfrac{E}{4}+1\right)x^2+Dx=0,$$可知$$4m,4m,0,4$$是其四个根，根据高次方程韦达定理有$$4m+4m+0+4=0,$$解得 $m=-\dfrac12$，因此 $-2,-2,4$ 是方程$$\dfrac{x^3}{16}+\left(\dfrac{E}{4}+1\right)x+D=0,$$的三个根，故有$$\begin{aligned} (-2)\cdot(-2)\cdot4=&-16\cdot D,\\(-2)^2+(-2)\cdot 4+(-2)\cdot 4=&16\left(\dfrac E4+1\right),\end{aligned} $$解得 $D=-1,E=-7$，因此存在 $C(-2,1)$ 满足题意，且圆的方程为 $x^2+y^2-x-7y=0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
