求证：$x\cdot \ln x+x-\ln x>\dfrac 45$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $x>1$ 时，有\[x\cdot \ln x+x-\ln x>1,\]命题成立．
当 $0<x<1$ 时，有\[\begin{split} x\cdot \ln x+x-\ln x-\dfrac 45&> (x-1)\cdot \dfrac{4\left(\sqrt {x}-1\right)}{\sqrt x+1}+x-\dfrac 45\\
&=\dfrac 15\left(5\sqrt x-4\right)^2\\
&\geqslant 0,\end{split} \]命题成立．
综上所述，原不等式得证．
当 $0<x<1$ 时，有\[\begin{split} x\cdot \ln x+x-\ln x-\dfrac 45&> (x-1)\cdot \dfrac{4\left(\sqrt {x}-1\right)}{\sqrt x+1}+x-\dfrac 45\\
&=\dfrac 15\left(5\sqrt x-4\right)^2\\
&\geqslant 0,\end{split} \]命题成立．
综上所述，原不等式得证．
答案
解析
备注
