已知函数 $f(x)=a{\rm e}^{2x}+b{\rm e}^x$（$a\ne 0$），$g(x)=x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $a=b=1$，求 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的最小值；标注答案$\dfrac 34+\ln 2$解析当 $a=b=1$ 时，有\[F(x)={\rm e}^{2x}+{\rm e}^x-x,\]其导函数\[F'(x)=\left({\rm e}^x+1\right)\left(2{\rm e}^x-1\right),\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline
x&(-\infty,-\ln 2)&-\ln 2&(-\ln 2,+\infty)\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\ \hline
f(x)&\searrow&\min &\nearrow \\ \hline \end{array}\]因此函数 $F(x)$ 的最小值为\[F(-\ln 2)=\dfrac 34+\ln 2.\] -
若函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，记 $x_0=\dfrac{x_1+x_2}2$，对任意 $a\in (0,+\infty)$，$b\in\mathbb R$，试比较 $f'(x_0)$ 和 $g'(x_0)$ 的大小，并证明你的结论．标注答案略解析函数 $F(x)$ 的导函数\[F'(x)=2a{\rm e}^{2x}+b{\rm e}^x-1.\]根据题意，函数 $F(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，不妨设 $x_1<x_2$，于是其导函数 $F'(x)$ 在 $(x_1,x_2)$ 内有零点．又由于关于 $x$ 的二次方程\[2ax^2+bx-1=0\]至多有一个正实数解（因为 $a>0$），因此 $F'(x)$ 在 $(x_1,x_2)$ 内的零点唯一，记为 $m$．进而有\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&(x_1,m)&m&(m,x_2)\\ \hline
F'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\]因此判断 $f'(x_0)$ 与 $g'(x_0)$ 的大小关系，也即判断 $F'(x_0)$ 的正负，也即判断 $x_1+x_2$ 与 $2m$ 的大小关系．
设函数\[\varphi(x)=F(x)-F(2m-x),\]则有\[\varphi(m)=\varphi'(m)=0,\]其导函数\[\varphi'(x)=2a{\rm e}^{2x}+2a{\rm e}^{2(2m-x)}+b{\rm e}^{x}+b{\rm e}^{2m-x}-2,\]其二阶导函数\[\varphi''(x)=4a{\rm e}^{2x}+b{\rm e}^x-4a{\rm e}^{4m-2x}-b{\rm e}^{2m-x},\]将\[b={\rm e}^{-m}-2a{\rm e}^m,\]代入整理得\[\varphi''(x)=2a{\rm e}^{2m}\left(2{\rm e}^{2x-2m}+{\rm e}^{m-x}-2{\rm e}^{2m-2x}-{\rm e}^{x-m}\right)+{\rm e}^{x-m}-{\rm e}^{m-x},\]令 $t={\rm e}^{x-m}$，则\[2{\rm e}^{2x-2m}+{\rm e}^{m-x}-2{\rm e}^{2m-2x}-{\rm e}^{x-m}=\dfrac{\left(2t^2-t+2\right)(t+1)(t-1)}{t^2},\]因此\[\begin{array} {c|ccc}\hline
x&(-\infty,m)&m&(m,+\infty)\\ \hline
\varphi''(x)&-&0&+\\ \hline
\varphi'(x)&\searrow&0&\nearrow\\ \hline
\varphi'(x)&+&0&+\\ \hline
\varphi(x)&\nearrow&0&\nearrow\\ \hline
\varphi(x)&-&0&+\\ \hline
\end{array}\]这样就有\[F(x_1)=F(x_2)>F(2m-x_2),\]从而\[x_1+x_2<2m,\]因此 $F'(x_0)<0$，即 $f'(x_0)<g'(x_0)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
