已知函数 $f(x)=\dfrac{a{\rm e}^x}{x+b}$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=\dfrac{{\rm e}}4(x+1)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $a,b$ 的值；标注答案$a=1$，$b=1$解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{ax+b-a}{(ax+b)^2}\cdot {\rm e}^x,\]于是\[\begin{cases} f(1)=\dfrac{a{\rm e}}{1+b}=\dfrac{\rm e}2,\\ f'(1)=\dfrac{b}{(a+b)^2}\cdot {\rm e}=\dfrac{\rm e}4,\end{cases}\]解得 $a=1$，$b=1$．
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当 $x>0$ 且 $x\ne 1$ 时，求证：$f(x)>\dfrac{x-1}{\ln x}$．标注答案略解析我们熟知有\[{\rm e}^x>x+1,\ln x>x-1,\]于是当 $0<x<1$ 时，有\[\dfrac{{\rm e}^x}{x+1}>1>\dfrac{x-1}{\ln x}.\]当 $x>1$ 时，我们熟知有\[\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},{\rm e}^x>\dfrac 12x^2+x+1,\]于是\[\dfrac{x-1}{\ln x}<\dfrac 12x+\dfrac 12<\dfrac{\dfrac 12x^2+x+1}{x+1}<\dfrac{{\rm e}^x}{x+1},\]因此命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
