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  微积分初步

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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的单调性
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  导数问题中的技巧

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  参数的讨论

当 $a\leqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；
当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，在 $(x_2,+\infty)$ 上单调递增，其中 $x_1=a-\sqrt{a^2-1}$，$x_2=a+\sqrt{a^2-1}$

根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x^2-2ax+1}{x},\]记\[\varphi(x)=x^2-2ax+1,\]注意到 $\varphi(0)=1$，$\varphi(x)$ 的对称轴为 $x=a$，判别式为 $\Delta=4\left(a^2-1\right)$．讨论分界点为 $a=0,1$．
情形一 $a\leqslant 0$．此时函数 $\varphi(x)$ 的对称轴在 $x=0$ 左侧，因此在 $(0,+\infty)$ 上 $\varphi(x)>0$，因此函数 $f(x)$ 单调递增．
情形二 $0<a\leqslant 1$．此时函数 $\varphi(x)$ 的判别式 $\Delta\leqslant 0$，因此 $\varphi(x)\geqslant 0$，在 $(0,+\infty)$ 上函数 $f(x)$ 单调递增．
情形三 $a>1$．此时函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个零点，分别记\[x_1=a-\sqrt{a^2-1},x_2=a+\sqrt{a^2-1},\]则函数 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，在 $(x_2,+\infty)$ 上单调递增．

• 题型

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  不等式

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  恒成立与存在性问题
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  利用导数研究函数的最值

$\left(0,2+\dfrac 12{\rm e}^2-2{\rm e}\right]$

函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=m\cdot \dfrac{1-\ln x}{x^2},\]因此函数 $g(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递增，对应的函数值的取值范围是 $\left[m,\dfrac{m}{\rm e}+m\right]$．根据第 $(1)$ 小题的结论，当 $a\in\left[\dfrac 12,1\right]$ 时，函数 $g(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递增，对应的函数值的取值范围是 $\left[\dfrac 12-2a,1+\dfrac 12{\rm e}^2-2a{\rm e}\right]$．命题\[\exists x_1,x_2\in [1,{\rm e}],\left|f(x_1)-g(x_2)\right|<1,\]即\[\left[m,\dfrac{m}{\rm e}+m\right]\cap \left[-\dfrac 12-2a,2+\dfrac 12{\rm e}^2-2a{\rm e}\right]\ne \varnothing.\]因此问题即\[\forall a\in\left[\dfrac 12,1\right],\left[m,\dfrac{m}{\rm e}+m\right]\cap \left[-\dfrac 12-2a,2+\dfrac 12{\rm e}^2-2a{\rm e}\right]\ne \varnothing,\]也即\[\left[m,\dfrac{m}{\rm e}+m\right]\cap \left[-\dfrac 32,2+\dfrac 12{\rm e}^2-2{\rm e}\right]\ne \varnothing,\]于是 $m$ 的取值范围是 $\left(0,2+\dfrac 12{\rm e}^2-2{\rm e}\right]$．