已知坐标平面 $xOy$ 内一点 $P(m,n)$，过点 $P$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴和 $y$ 轴正半轴分别交于点 $A,B$，选择合适的直线形式，证明：当 $P$ 点平分线段 $AB$ 时 $\triangle PAB$ 的面积取得最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设$$l:y=k(x-m)+n,$$则$$A\left(m-\dfrac nk,0\right) , B\left(0,n-mk\right),$$可得 $k<0$，于是 $\triangle PAB$ 的面积\[\begin{split}S&=\dfrac 12\cdot \left(m-\dfrac nk\right)\cdot \left(n-mk\right)\\&=mn+\dfrac 12\left[m^2(-k)+\dfrac{n^2}{-k}\right]\\&\geqslant 2mn,\end{split}\]等号当且仅当 $k=-\dfrac nm$ 时取得，此时 $A(2m,0)$，$B(0,2n)$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
