已知抛物线 $y^2=2px$ 的内接 $\triangle ABC$ 的三条边所在的直线均与抛物线 $x^2=2py$ 相切，求证：$A,B,C$ 三点的纵坐标之和为 $0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb),C(2pc^2,2pc)$，有 $a^2\ne b^2\ne c^2$．从而直线 $AB$ 的方程为$$y-2pa=\dfrac{2pb-2pa}{2pb^2-2pa^2}(x-2pa^2)=\dfrac 1{a+b}(x-2pa^2),$$联立 $AB$ 的方程与 $x^2=2py$ 消去 $y$ 得$$x^2-\dfrac {2p}{a+b}x-\dfrac{4p^2ab}{a+b}=0.$$由 $AB$ 与 $x^2=2py$ 相切得判别式$$\Delta _1=4p^2\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac {16p^2ab}{a+b}=0,$$整理得 $1+4ab(a+b)=0$．同理有 $1+4bc(b+c)=0$，两式相减得$$4b(a-c)(a+c+b)=0,$$因为 $b\ne 0,a\ne c$，所以 $a+b+c=0$，命题得证．
答案
解析
备注
