已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $P\left(3,\dfrac 52\right)$ 是双曲线 $E$ 上一点，且 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆半径为 $1$，求双曲线 $E$ 的方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$
【解析】
$\triangle PF_1F_2$ 的面积\[\dfrac 12(PF_1+PF_2+F_1F_2)\cdot r=\dfrac 12F_1F_2\cdot h,\]其中 $r,h$ 分别为 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆半径和 $F_1F_2$ 边上的高．
应用双曲线的焦半径公式 I，可得\[\dfrac 12(3e+a+3e-a+2c)\cdot 1=\dfrac 12\cdot 2c\cdot \dfrac 52,\]解得 $a=2$，进而可求得双曲线的方程为 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$．
应用双曲线的焦半径公式 I，可得\[\dfrac 12(3e+a+3e-a+2c)\cdot 1=\dfrac 12\cdot 2c\cdot \dfrac 52,\]解得 $a=2$，进而可求得双曲线的方程为 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$．
答案
解析
备注
