已知正数 $x,y$ 满足 $15x-y=22$，求 $x^3+y^3-x^2-y^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
设 $f(x)=x^3-x^2$，将 $y=15x-22$ 代入，可得原式\[M(x)=f(x)+f(15x-22),\]其中 $x\in \left(\dfrac {22}{15},+\infty\right)$．
因为\[\begin{split}M'(x)&=f(x)+15f'(15x-22)\\
&=3x^2-2x+15\left[3\left(15x-22\right)^2-2\left(15x-22\right)\right]\\
&=10128x^2-30152x+22440\\
&=8(633x-935)(2x-3),
\end{split}\]所以 $M(x)$ 在 $x=\dfrac 32$ 处取得最小值，为\[M\left(\dfrac 32\right)=f\left(\dfrac 32\right)+f\left(\dfrac 12\right)=1.\]
因为\[\begin{split}M'(x)&=f(x)+15f'(15x-22)\\
&=3x^2-2x+15\left[3\left(15x-22\right)^2-2\left(15x-22\right)\right]\\
&=10128x^2-30152x+22440\\
&=8(633x-935)(2x-3),
\end{split}\]所以 $M(x)$ 在 $x=\dfrac 32$ 处取得最小值，为\[M\left(\dfrac 32\right)=f\left(\dfrac 32\right)+f\left(\dfrac 12\right)=1.\]
答案
解析
备注
