求圆 $\begin{cases}(x-4)^2+(y-7)^2+(z+1)^2=36,\\ 3x+y-z=9,\end{cases}$ 的圆心坐标和半径．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(1,6,0)$，$5$
【解析】
即求球心坐标为 $P(4,7,-1)$，半径 $R$ 为 $6$ 的球被平面 $3x+y-z=9$ 截得的圆的圆心坐标和半径．
考虑到平面 $3x+y-z=9$ 的单位法向量为$$\overrightarrow n =\left(\dfrac{3}{\sqrt{11}},\dfrac{1}{\sqrt{11}},-\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right),$$取平面上一点 $Q(3,0,0)$，则球心到截面的距离 $d$ 即 $\overrightarrow{PQ}$ 在 $\overrightarrow n$ 上的投影的长度，为\[d=\left|\overrightarrow {PQ}\cdot \overrightarrow n\right|=\left|(-1,-7,1)\cdot \left(\dfrac{3}{\sqrt{11}},\dfrac{1}{\sqrt{11}},-\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right)=\sqrt{11}\right|,\]这样就得到了所求圆的半径\[r=\sqrt{R^2-d^2}=5.\]进一步，所求圆心坐标为\[(4,7,-1)+\sqrt{11}\overrightarrow n=(7,8,-2)\]或\[(4,7,-1)-\sqrt{11}\overrightarrow n=(1,6,0),\]经检验知圆心坐标为 $(1,6,0)$．
考虑到平面 $3x+y-z=9$ 的单位法向量为$$\overrightarrow n =\left(\dfrac{3}{\sqrt{11}},\dfrac{1}{\sqrt{11}},-\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right),$$取平面上一点 $Q(3,0,0)$，则球心到截面的距离 $d$ 即 $\overrightarrow{PQ}$ 在 $\overrightarrow n$ 上的投影的长度，为\[d=\left|\overrightarrow {PQ}\cdot \overrightarrow n\right|=\left|(-1,-7,1)\cdot \left(\dfrac{3}{\sqrt{11}},\dfrac{1}{\sqrt{11}},-\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right)=\sqrt{11}\right|,\]这样就得到了所求圆的半径\[r=\sqrt{R^2-d^2}=5.\]进一步，所求圆心坐标为\[(4,7,-1)+\sqrt{11}\overrightarrow n=(7,8,-2)\]或\[(4,7,-1)-\sqrt{11}\overrightarrow n=(1,6,0),\]经检验知圆心坐标为 $(1,6,0)$．
答案
解析
备注
