已知向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB}$，$O$ 是坐标原点，若 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=k\left|\overrightarrow{OA}\right|$．且 $\overrightarrow{AB}$ 方向是沿 $\overrightarrow{OA}$ 的方向绕着 $A$ 点按逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到的，则称 $\overrightarrow{OA}$ 经过一次 $(\theta,k)$ 变换得到 $\overrightarrow{AB}$．现有向量 $\overrightarrow{OA}=(1,1)$ 经过一次 $(\theta_1,k_1)$ 变换后得到 $\overrightarrow{AA_1}$，$\overrightarrow{AA_1}$ 经过一次 $(\theta_2,k_2)$ 变换后得到 $\overrightarrow{A_1A_2}$，$\cdots$，如此下去，$\overrightarrow{A_{n-2}A_{n-1}}$ 经过一次 $(\theta_n,k_n)$ 变换后得到 $\overrightarrow{A_{n-1}A_n}$．设 $\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=(x,y)$，$\theta_k=\dfrac{1}{2^{k-1}}$，$k_n=\dfrac{1}{\cos\theta_k}$，其中 $k=1,2,\cdots,n$．求 $y-x$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sin\left(2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}$
【解析】
根据题意，每经过一次 $(\theta,k)$ 变换，从 $x$ 轴正向逆时针旋转到向量方向的角增加 $\theta$，向量模长扩大 $k$ 倍．
因此\[\begin{split}
(x,y)&=\left(\dfrac{\pi}4+\sum_{k=1}^n\theta_k:\sqrt 2\cdot \prod_{k=1}^n\dfrac{1}{\cos\theta_k}\right)\\
&=\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}:\sqrt 2\cdot \dfrac{1}{\cos 1\cdot\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}\right)\\
&=\left(\dfrac{\sqrt 2}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}\cos\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right),\dfrac{\sqrt 2}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}\sin\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\right),
\end{split}\]故\[\begin{split}y-x&=\dfrac{\sqrt 2\left[\sin\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\right]}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}\\ &=\dfrac{2\sin\left(2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}.\end{split}\]
因此\[\begin{split}
(x,y)&=\left(\dfrac{\pi}4+\sum_{k=1}^n\theta_k:\sqrt 2\cdot \prod_{k=1}^n\dfrac{1}{\cos\theta_k}\right)\\
&=\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}:\sqrt 2\cdot \dfrac{1}{\cos 1\cdot\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}\right)\\
&=\left(\dfrac{\sqrt 2}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}\cos\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right),\dfrac{\sqrt 2}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}\sin\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\right),
\end{split}\]故\[\begin{split}y-x&=\dfrac{\sqrt 2\left[\sin\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}4+2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\right]}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}\\ &=\dfrac{2\sin\left(2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)}{\cos 1\cos\dfrac 12\cdots\cos\dfrac{1}{2^{n-1}}}.\end{split}\]
答案
解析
备注
